Anti-Derivatives Exercise: 19.1 Class 11 Basic Mathematics Solution [NEB UPDATED]

Exercise 19.1

Find the indefinite integrals of:

1.(i)$\int 5{\mathrm{x}}^{3}dx$

Solution:

Or, $\int 5{\mathrm{x}}^3$ = 5$\int {\mathrm{x}}^3$.dx = 5$.\frac{{\mathrm{x}}^{3+1}}{4}$ + c = $\frac{5}{4}$x⁴ + c.

 

(ii)$\int 7{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}dx$

Solution:

Or, $\int 7{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}$   = 7$.\frac{{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{7}{2}}$ + c = 2x^7/2 + c.

 

(iii)$\int 2{\mathrm{x}}^{\frac{-7}{2}}dx$

Solution:

Or, $\int 2{\mathrm{x}}^{\frac{-7}{2}}$ = 2$\int {\mathrm{x}}^{\frac{-7}{2}}$.dx = 2$.\frac{{\mathrm{x}}^{-7/2+1}}{-5/2}$ + c = –$\frac{4}{5}$.x^–5/2 + c = $-\frac{4}{5{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}}$ + c.

 

(iv)$\int 4{\mathrm{x}}^{-5}$ .dx

Solution:

Or, $\int 4{\mathrm{x}}^{-5}$ .dx = 4.$\int {\mathrm{x}}^{-5}$.dx = 4$.\frac{{\mathrm{x}}^{-5+1}}{-4}$ + c = – x^–4 + c = $-\frac{1}{{\mathrm{x}}^4}$ + c.

 

2.(i)$\int \left({\mathrm{x}}^2+2\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int \left({\mathrm{x}}^2+2\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$  = $\frac{{\mathrm{x}}^{2+1}}{3}$ + 2x + c = $\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}$ + 2x + c.

 

(ii)$\int \left(3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int \left(3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+1\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $3\int {\mathrm{x}}^2.\mathrm{d}\mathrm{x}+2.\int \mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}+\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = 3.$\frac{{\mathrm{x}}^{2+1}}{3}$ + 2.$\frac{{\mathrm{x}}^{1+1}}{2}$ + x + c = x³ + x² + x + c.

 

(iii)$\int \left({\mathrm{x}}^{\frac{3}{4}}+{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}+4{\mathrm{x}}^{\frac{1}{3}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

$\int \left({\mathrm{x}}^{\frac{3}{4}}+{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}+4{\mathrm{x}}^{\frac{1}{3}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\mathrm{x}}^{\frac{3}{4}}.\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}+4\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\mathrm{x}}^{\frac{3}{4}+1}}{\frac{7}{4}}+\frac{{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{3}{2}}+4.\frac{{\mathrm{x}}^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{4}{3}}$ + c.

= $\frac{4}{7}{\mathrm{x}}^{\frac{7}{4}}+\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}+3{\mathrm{x}}^{\frac{4}{3}}$ + c.

 

(iv)$\int \left(2\mathrm{x}+1\right)\left(3\mathrm{x}+2\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

$\int \left(2\mathrm{x}+1\right)\left(3\mathrm{x}+2\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(6{\mathrm{x}}^2+7\mathrm{x}+2\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $6.\frac{{\mathrm{x}}^{2+1}}{3}+7.\frac{{\mathrm{x}}^{1+1}}{2}$ + 2x + c.

= 2x³ + $\frac{7}{2}$x² + 2x + c.

 

(v)$\int \left({\mathrm{x}}^2-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

$\int \left({\mathrm{x}}^2-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\mathrm{x}}^2.\mathrm{d}\mathrm{x}-$$\int \frac{1}{{\mathrm{x}}^2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int {\mathrm{x}}^2.\mathrm{d}\mathrm{x}-\int {\mathrm{x}}^{-2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{{\mathrm{x}}^{2+1}}{3}-\frac{{\mathrm{x}}^{-2+1}}{-1}$ + c.

= $\frac{1}{3}$x³ + x^–1 + c = $\frac{1}{3}$x³ + $\frac{1}{\mathrm{x}}$ + c.

 

(vi)$\int \left(\sqrt{\mathrm{x}}-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

$\int \left(\sqrt{\mathrm{x}}-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left({\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}-$$\int {\mathrm{x}}^{-\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{3}{2}}-\frac{{\mathrm{x}}^{-\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}}$ + c = $\frac{2}{3}$.x^3/2 – 2x^1/2 + c.

 

(vii)$\int \sqrt{\mathrm{x}}.\left({\mathrm{x}}^2-5\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

$\int \sqrt{\mathrm{x}}.\left({\mathrm{x}}^2-5\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}.\left({\mathrm{x}}^2-5\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left({\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}-5{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int {\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}-5\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\mathrm{x}}^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{7}{2}}-\frac{5{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$ + c = $\frac{2}{7}$.x^7/2 – $\frac{10}{3}$.x^3/2 + c.

 

(viii)$\int {\left(\mathrm{x}-3\right)}^2.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

$\int {\left(\mathrm{x}-3\right)}^2.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left({\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}+9\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\mathrm{x}}^2.\mathrm{d}\mathrm{x}-6\int \mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}+9\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}-\frac{6{\mathrm{x}}^2}{2}$ + 9x + c = $\frac{1}{3}$x³ – 3x² + 9x + c.

 

(ix)$\int \frac{3{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

$\int \frac{3{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+2}{\mathrm{x}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(\frac{3{\mathrm{x}}^2}{\mathrm{x}}-\frac{5\mathrm{x}}{\mathrm{x}}+\frac{2}{\mathrm{x}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = 3.$\int \mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}-5\int \mathrm{d}\mathrm{x}+2\int \frac{1}{\mathrm{x}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= 3.$\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}$ – 5x + 2.logx + c.

(x)$\int \frac{\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

$\int \frac{\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{b}\mathrm{x}+\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(\frac{\mathrm{a}{\mathrm{x}}^2}{{\mathrm{x}}^2}+\frac{\mathrm{b}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}+\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^2}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left(\mathrm{a}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{c}}{{\mathrm{x}}^2}\right)$.dx

= a$\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + b$\int \frac{1}{\mathrm{x}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + c $\int {\mathrm{x}}^{-2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= ax + b.logx + $\frac{\mathrm{c}{\mathrm{x}}^{-2+1}}{-1}$ + k

= ax + b.logx – $\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}}$ + k.

 

(xi)$\int \left({\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+5\right).{\mathrm{x}}^{-\frac{1}{3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

$\int \left({\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+5\right).{\mathrm{x}}^{-\frac{1}{3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left({\mathrm{x}}^{2-\frac{1}{3}}+3{\mathrm{x}}^{1-\frac{1}{3}}+5{\mathrm{x}}^{-\frac{1}{3}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int ({\mathrm{x}}^{\frac{5}{3}}+3{\mathrm{x}}^{\frac{2}{3}}+5{\mathrm{x}}^{-\frac{1}{3}})$.dx

=  $\int {\mathrm{x}}^{\frac{5}{3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + 3$\int {\mathrm{x}}^{\frac{2}{3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + 5$\int {\mathrm{x}}^{-\frac{1}{3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\mathrm{x}}^{\frac{5}{3}+1}}{\frac{8}{3}}+\frac{3{\mathrm{x}}^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{5}{3}}+\frac{5{\mathrm{x}}^{-\frac{1}{3}+1}}{\frac{2}{3}}$ + c

= $\frac{3}{8}$.x^8/3 + $\frac{9}{5}$.x^5/3 + $\frac{15}{2}$.x^2/3 + c.

 

3.(i)$\int {\left(3\mathrm{x}+5\right)}^4.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int {\left(3\mathrm{x}+5\right)}^4.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{{\left(3\mathrm{x}+5\right)}^{4+1}}{5.3}$ + c $\frac{1}{15}$(3x + 5)⁵ + c.

 

(ii)$\int {\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\mathrm{x}\right)}^5.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int {\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\mathrm{x}\right)}^5.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{{\left(\mathrm{a}-\mathrm{b}\mathrm{x}\right)}^{5+1}}{6.\left(-\mathrm{b}\right)}$ + c =$-\frac{1}{6\mathrm{b}}$(a – bx)⁶ + c.

 

(iii)$\int {\left(\mathrm{c}+\mathrm{d}\mathrm{x}\right)}^{-\frac{3}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int {\left(\mathrm{c}+\mathrm{d}\mathrm{x}\right)}^{-\frac{3}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{{\left(\mathrm{c}+\mathrm{d}\mathrm{x}\right)}^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{1}{2}.\mathrm{d}}$ + k = $-\frac{2}{\mathrm{d}}$(c + dx)^–1/2 + k.

 

(iv)$\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+7}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+7}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{1}{{\left(2\mathrm{x}+7\right)}^{\frac{1}{2}}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\left(2\mathrm{x}+7\right)}^{-\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}.2}$ + c = $\sqrt{2\mathrm{x}+7}$ + c.

 

(v)$\int [\mathrm{x}+\frac{1}{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int [\mathrm{x}+\frac{1}{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + $\int \frac{1}{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + $\int {\left(\mathrm{x}+3\right)}^{-2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}$ + $\frac{{\left(\mathrm{x}+3\right)}^{-2+1}}{-1}$ + c = $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}-{\left(\mathrm{x}+3\right)}^{-1}$ + c.

= $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}-\frac{1}{\mathrm{x}+3}+\mathrm{c}$.

 

(vi) $\int \left[4+\frac{1}{{\left(5\mathrm{x}+1\right)}^2}\right].\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int \left[4+\frac{1}{{\left(5\mathrm{x}+1\right)}^2}\right].\mathrm{d}\mathrm{x}$ = 4.$\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + $\int \frac{1}{{\left(5\mathrm{x}+1\right)}^2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= 4x + $\frac{{\left(5\mathrm{x}+1\right)}^{-2+1}}{-\frac{1}{5}}$ + c = 4x – $\frac{1}{5\left(5\mathrm{x}+1\right)}$ + c. 

 

(vii)$\int \frac{\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-3}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int \frac{\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}-3}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{\left(\mathrm{x}-3\right)+6}{\mathrm{x}-3}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left(\frac{\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-3}+\frac{6}{\mathrm{x}-3}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}+6$

= $\int \frac{1}{\mathrm{x}-3}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= x + 6.log(x – 3) + c.

 

(viii) $\int \frac{3\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}-2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Or, $\int \frac{3\mathrm{x}-1}{\mathrm{x}-2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{3\mathrm{x}-6+5}{\mathrm{x}-2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left[\frac{3\left(\mathrm{x}-2\right)}{\mathrm{x}-2}+\frac{5}{\mathrm{x}-2}\right].\mathrm{d}\mathrm{x}$

= 3.$\int \mathrm{d}\mathrm{x}+5$

= $\int \frac{1}{\mathrm{x}-2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= 3x + 5.log(x – 2) + c.

 

(ix)$\int \frac{{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int \frac{{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+3}{\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)+2\left(\mathrm{x}+1\right)+1}{\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{\left(\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{x}+2\right)+1}{\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left(\mathrm{x}+2+\frac{1}{\mathrm{x}+1}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}+2\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \frac{1}{\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}$ + 2x + log(x + 1) + c.

 

(x)$\int \frac{{\mathrm{x}}^2+5}{\mathrm{x}+2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int \frac{{\mathrm{x}}^2+5}{\mathrm{x}+2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{{\mathrm{x}}^2-4+9}{\mathrm{x}+2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{\left(\mathrm{x}+2\right)\left(\mathrm{x}-2\right)+9}{\mathrm{x}+2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left(\mathrm{x}-2+\frac{9}{\mathrm{x}+2}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}-2\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}+9\int \frac{1}{\mathrm{x}+2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}$ – 2x + 9log(x + 2) – c.

 

4.(i)$\int \mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int \mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \left\{\left(\mathrm{x}+1\right)-1\right\}{\left\{\mathrm{x}+1\right\}}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left\{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}-{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int {\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ – $\int {\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}$ – $\frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$ + c.

= $\frac{2}{5}$(x + 1)^5/2 – $\frac{2}{3}$(x + 1)^3/2 + c.

  

(ii)$\int \mathrm{x}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int \mathrm{x}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{\mathrm{a}}\int \mathrm{a}\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{\mathrm{a}}\int \left\{\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)-\mathrm{b}\right\}{\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{\mathrm{a}}\int \left\{{\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^{\frac{3}{2}}-\mathrm{b}{\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{\mathrm{a}}\int {\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^{\frac{3}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}-\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\int {\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{\mathrm{a}}\frac{\left({\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^{\frac{5}{2}}\right)}{\frac{5}{2}.\mathrm{a}}-\frac{\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\left({\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^{\frac{3}{2}}\right)}{\frac{3}{2}.\mathrm{a}}$ + c.

= $\frac{1}{{\mathrm{a}}^2}\left[\frac{2}{5}{\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^{\frac{5}{2}}-\frac{2\mathrm{b}}{3}{\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}^{\frac{3}{2}}\right]$ + c.

 

(iii)$\int 2\mathrm{x}\sqrt{2\mathrm{x}+3}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int 2\mathrm{x}\sqrt{2\mathrm{x}+3}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left\{{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{3}{2}}-3{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{1}{2}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int {\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{3}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}-3\int {\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}.2}-\frac{3\left({\left(2\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{3}{2}}\right)}{\frac{3}{2}.2}$ + c.

= $\frac{1}{5}$(2x + 3)^5/2 – (2x + 3)^3/2 + c.

 

(iv)$\int 5\mathrm{x}\sqrt{5\mathrm{x}+2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int 5\mathrm{x}\sqrt{5\mathrm{x}+2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int {\left\{\left(5\mathrm{x}+2\right)-2\right\}}^{\frac{3}{2}}-2{\left(5\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int {\left(5\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{3}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}-2\int {\left(5\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\left(5\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}.2}-2.\frac{{\left(5\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}.5}$ + c.

= $\frac{2}{25}$(5x + 2)^5/2 – $\frac{4}{15}$(5x + 2)^3/2 + c.

 

(v)$\int \left(\mathrm{x}+2\right)\sqrt{3\mathrm{x}+2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int \left(\mathrm{x}+2\right)\sqrt{3\mathrm{x}+2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{3}\int \left\{\left(3\mathrm{x}+2\right)+4\right\}{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{3}\int {\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{3}{2}}.+4{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=  $\frac{1}{3}\int {\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{3}{2}}.+\frac{4}{3}\int {\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{3}$$\frac{{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}.3}$ + $\frac{4}{3}$$\frac{{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}.3}$ + c.

= $\frac{2}{45}$ (3x + 2)^5/2 + $\frac{8}{27}$ (3x + 2)^3/2 + c

= $\frac{2}{9}$$\left[\frac{1}{5}{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{3}{2}}\right]$ + c.

  

(vi) $\int \left(2\mathrm{x}+3\right)\sqrt{3\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int \left(2\mathrm{x}+3\right)\sqrt{3\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{3}\int \left(6\mathrm{x}+9\right)\sqrt{3\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{3}\int \left\{\left(6\mathrm{x}+2\right)+7\right\}.{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=  $\frac{1}{3}$$\int \{(2\left(3\mathrm{x}+1\right)+7\}{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{2}{3}$$\int {\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + $\frac{7}{3}$$\int {\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}$.dx

= $\frac{2}{3}$$\frac{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}.3}$ + $\frac{7}{3}$$\frac{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}.3}$ + c

= $\frac{4}{45}$ (3x + 1)^5/2 + $\frac{14}{27}$ (3x + 1)^3/2 + c

= $\frac{2}{9}$$\left[\frac{2}{5}{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{5}{2}}+\frac{7}{3}{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]$ + c.

 

(vii)$\int \left(5\mathrm{x}+3\right)\sqrt{4\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

$\int \left(5\mathrm{x}+3\right)\sqrt{4\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{4}\int \left(20\mathrm{x}+12\right)\sqrt{4\mathrm{x}+1}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{4}\int \left\{\left(20\mathrm{x}+5\right)+7\right\}.{\left(4\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=  $\frac{1}{4}$$\int \{(5\left(4\mathrm{x}+1\right)+7\}{\left(4\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{5}{4}$$\int {\left(4\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + $\frac{7}{4}$$\int {\left(4\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}$.dx

= $\frac{5}{4}$$\frac{{\left(4\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}.4}$ + $\frac{7}{3}$$\frac{{\left(4\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}.4}$ + c

= $\frac{1}{8}$ (4x + 1)^5/2 + $\frac{7}{24}$ (4x + 1)^3/2 + c

= $\frac{1}{8}$$\left[{\left(4\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{5}{2}}+\frac{7}{3}{\left(4\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}\right]$ + c.

 

(viii)$\int \frac{\mathrm{x}+2}{\sqrt{\mathrm{x}+1}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

$\int \frac{\mathrm{x}+2}{\sqrt{\mathrm{x}+1}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{\left(\mathrm{x}+1\right)+1}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=$\int \left\{\frac{\mathrm{x}+1}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left\{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=   $\int {\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}+$$\int {\left(\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}$.dx

= $\frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{{\left(\mathrm{x}+2\right)}^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}$ + c

= $\frac{2}{3}$ (x + 1)^3/2 + 2(x + 1)^1/2 + c.

  

(ix)$\int \frac{3\mathrm{x}+4}{\sqrt{\mathrm{x}+1}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

$\int \frac{3\mathrm{x}+4}{\sqrt{\mathrm{x}+1}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{\left(3\mathrm{x}+3\right)+1}{\sqrt{\mathrm{x}+1}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=$\int \left\{\frac{3\left(\mathrm{x}+1\right)}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left\{3{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=   3.$\int {\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}+$$\int {\left(\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}$.dx

= $\frac{3{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{{\left(\mathrm{x}+2\right)}^{-\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}$ + c

= 2 (x + 1)^3/2 + 2(x + 1)^1/2 + c.

  

(x)$\int \frac{2\mathrm{x}+1}{\sqrt{3\mathrm{x}+2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

$\int \frac{2\mathrm{x}+1}{\sqrt{3\mathrm{x}+2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{3}\int \frac{6\mathrm{x}+3}{\sqrt{3\mathrm{x}+2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=$\frac{1}{3}\int \left\{\frac{2\left(3\mathrm{x}+2\right)}{{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left\{2{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}-{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{2}{3}\int {\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}-$$\frac{1}{3}\int {\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{-\frac{1}{2}}$.dx

= $\frac{2}{3}.\frac{{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}.3}-\frac{1}{3}.\frac{{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{-\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}.3}$ + c

= $\frac{4}{27}$ (3x + 2)^3/2$--$$\frac{2}{9}$(3x + 2)^1/2 + c.

= $\frac{2}{9}\left[\frac{2}{3}{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{3}{2}}-{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{1}{2}}\right]$ + c.

 

(xi)$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

$\int \frac{2\mathrm{x}+3}{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{3}\int \frac{6\mathrm{x}+9}{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=$\frac{1}{3}\int \left\{\frac{2\left(3\mathrm{x}+1\right)}{{\left(3\mathrm{x}+2\right)}^{\frac{3}{2}}}+\frac{7}{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left\{2{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}+7{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{3}{2}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{2}{3}\int {\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}+$$\frac{7}{3}$.$\int {\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{3}{2}}$.dx

= $\frac{2}{3}.\frac{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}.3}.\mathrm{d}\mathrm{x}+\frac{7}{3}.\frac{{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{3}{2}+1}}{\frac{-1}{2}.3}$ + c

= $\frac{4}{9}$ (3x + 1)^1/2$--$$\frac{14}{9}$(3x + 1)^–1/2 + c.

= $\frac{2}{9}[\{2{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}-7{\left(3\mathrm{x}+1\right)}^{-\frac{1}{2}}]$ + c.

 

(xii)$\int \frac{3\mathrm{x}+2}{\sqrt{5\mathrm{x}+3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

$\int \frac{3\mathrm{x}+2}{\sqrt{5\mathrm{x}+3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{5}\int \frac{15\mathrm{x}+10}{\sqrt{5\mathrm{x}+3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{5}\int \frac{\left(15\mathrm{x}+9\right)+1}{{\left(5\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{1}{2}}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

=$\frac{1}{5}\int \left\{\frac{3\left(5\mathrm{x}+3\right)}{{\left(5\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{{\left(5\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{1}{2}}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{5}\int \left\{3{\left(5\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(5\mathrm{x}+3\right)}^{-\frac{1}{2}}\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{3}{5}\int {\left(5\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}+$$\frac{1}{5}$.$\int {\left(5\mathrm{x}+3\right)}^{-\frac{1}{2}}$.dx

= $\frac{3}{5}.\frac{{\left(5\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}.5}.\mathrm{d}\mathrm{x}+\frac{1}{5}.\frac{{\left(5\mathrm{x}+3\right)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}.5}$ + c

= $\frac{2}{25}$ (5x + 3)^3/2 + $\frac{2}{25}$ (5x + 3)^1/2 + c

= $\frac{2}{25}$ [(5x + 3)^3/2 + (5x + 3)^1/2] + c.

 

5.(i)$\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}+1}-\sqrt{\mathrm{x}}}$.dx 

Solution:

Or, $\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}+1}-\sqrt{\mathrm{x}}}$.dx = $\int \frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}+1}-\sqrt{\mathrm{x}}}\ast \frac{\sqrt{\mathrm{x}+1}+\sqrt{\mathrm{x}}}{\sqrt{\mathrm{x}+1}+\sqrt{\mathrm{x}}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}+{\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}}{\mathrm{x}+1-\mathrm{x}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {\mathrm{x}}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{{\left(\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}$ + c = $\frac{2}{3}$[(x + 1)^3/2 + x^3/2] + c.

 

(ii) $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}-\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{a}}}$.

Solution:

Or, $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}-\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{a}}}$.= $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}-\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{a}}}\ast \frac{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{a}}}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{a}}}$

= $\int \frac{\sqrt{\mathrm{x}+1}+\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{a}}}{\mathrm{x}+\mathrm{a}-\mathrm{x}+\mathrm{a}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left[{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}^{\frac{1}{2}}\right].\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $$$$

= $\frac{1}{2\mathrm{a}}$.$\left[\frac{{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{{\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]$ + c.

= $\frac{1}{2\mathrm{a}}$.$\frac{2}{3}$ [(x + a)^3/2 + (x – a)^3/2] + c.

=$\frac{1}{3\mathrm{a}}$[(x + a)^3/2 + (x – a)^3/2] + c.

 

(iii)$\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}-\sqrt{2\mathrm{x}-3}}$.dx

Solution:

Or, $\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}-\sqrt{2\mathrm{x}-3}}$.dx = $\int \frac{1}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}-\sqrt{2\mathrm{x}-3}}\ast \frac{\sqrt{2\mathrm{x}+1}+\sqrt{2\mathrm{x}-3}}{\sqrt{2\mathrm{x}+1}+\sqrt{2\mathrm{x}-3}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{\sqrt{2\mathrm{x}+1}+\sqrt{2\mathrm{x}-3}}{2\mathrm{x}+1-2\mathrm{x}+3}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{4}.[\int {\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {\left(2\mathrm{x}-3\right)}^{\frac{1}{2}}].\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{4}$.$\left[\frac{{\left(2\mathrm{x}+1\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}.2}+\frac{{\left(2\mathrm{x}-3\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}.2}\right]$ + c.

= $\frac{1}{12}$ [(2x + 1)^3/2 + (2x – 3)^3/2] + c.

 

(iv)$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}-\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{b}}}$

Solution:

Or, $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}-\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{b}}}$ = $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}.}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}-\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{b}}}\ast \frac{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{b}}}{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{b}}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{a}}+\sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{b}}}{\mathrm{x}+\mathrm{a}-\mathrm{x}+\mathrm{b}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}.\left[\int {\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}+\int {\left(\mathrm{x}-\mathrm{b}\right)}^{\frac{1}{2}}.\mathrm{d}\mathrm{x}\right]$

= $\frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$.$\left[\frac{{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+\frac{{\left(\mathrm{x}-\mathrm{b}\right)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]$ + c.

= $\frac{1}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}$$\left[\frac{2}{3}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)}^{\frac{3}{2}}+\frac{2}{3}{\left(\mathrm{x}-\mathrm{b}\right)}^{\frac{3}{2}}\right]$ + c

= $\frac{2}{3\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}$$\left[{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)}^{\frac{3}{2}}+{\left(\mathrm{x}-\mathrm{b}\right)}^{\frac{3}{2}}\right]$ + c.

 

 

6.(i)$\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}5\mathrm{x}$ dx

Solution:

Or, $\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}5\mathrm{x}$ dx = $-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}5\mathrm{x}}{5}$ + c.

                                    

(ii)$\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}{\mathrm{a}}$ + c.

 

(iii)$\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+\mathrm{b}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+\mathrm{b}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+\mathrm{b}\right)}{{\mathrm{a}}^2}$ + c.

 

(iv)$\int {\sec }^2\left(2\mathrm{x}+3\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int {\sec }^2\left(2\mathrm{x}+3\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(2\mathrm{x}+3\right)}{2}$ + c.

 

(v)$\int {\sin }^2\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int {\sin }^2\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{a}\mathrm{x}}{2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{2}\int \left(1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{a}\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}[\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}-\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}]$ = $\frac{1}{2}\left[\mathrm{x}-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{a}\mathrm{x}}{2\mathrm{a}}\right]$ + c.

 

(vi)$\int {\cos }^3\mathrm{b}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int {\cos }^3\mathrm{b}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int \frac{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{b}\mathrm{x}}{2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}[\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}+\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{b}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}]$ = $\frac{1}{2}\left[\mathrm{x}-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{b}\mathrm{x}}{2\mathrm{b}}\right]$ + c.

 

(vii)$\int {\tan }^2\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int {\tan }^2\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int ({\sec }^2\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}-\int 1.\mathrm{d}\mathrm{x}$  = $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{a}}$ – x + c.

 

(viii)$\int {\sin }^4.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int {\sin }^4.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{4}\int 4{\sin }^4\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{4}\int {\left(2{\sin }^2\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{4}[\int {\left(1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}\right)}^2.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{4}\int (1-2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}+{\cos }^{2}2\mathrm{x}).$dx

= $\frac{1}{4}\int [1-2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}+\frac{1}{2}(2{\cos }^{2}2\mathrm{x})]$.dx

= $\frac{1}{4}\int \left[1-2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}+\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}4\mathrm{x}\right)\right]$.dx

= $\frac{1}{4}$$\int \left(1-2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}4\mathrm{x}\right)$.dx

= $\frac{1}{4}\int \left(\frac{3}{2}-2.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}+\frac{1}{2}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}4\mathrm{x}\right)$.dx

= $\frac{1}{4}$$\left[\frac{3\mathrm{x}}{2}-\frac{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}4\mathrm{x}}{4}\right]$ + c

= $\frac{1}{4}\left[\frac{12\mathrm{x}-8\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}4\mathrm{x}}{8}\right]$ + c

= $\frac{1}{32}$ (12x – 8sin2x + sin4x) + c.

 

(ix) $\int {\cos }^4\mathrm{n}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

Solution:

Or, $\int {\cos }^4\mathrm{n}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{4}\int 4{\cos }^4\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{4}\int {\left(2{\cos }^2\mathrm{n}\mathrm{x}\right)}^2\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{4}[\int {\left(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{n}\mathrm{x}\right)}^2.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{4}\int (1+2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{n}\mathrm{x}+\frac{1}{2}({\cos }^{2}2\mathrm{n}\mathrm{x}).$dx

= $\frac{1}{4}\int (1+2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{n}\mathrm{x}+\frac{1}{2}(2{\cos }^{2}2\mathrm{n}\mathrm{x}))\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{4}\int \left[1+2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{n}\mathrm{x}+\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}4\mathrm{n}\mathrm{x}\right)\right]$.dx

= $\frac{1}{4}\int \left(\frac{3}{2}+2.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{n}\mathrm{x}+\frac{1}{2}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}4\mathrm{n}\mathrm{x}\right)$.dx

= $\frac{1}{4}$$\left[\frac{3\mathrm{x}}{2}+\frac{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{n}\mathrm{x}}{2\mathrm{n}}+\frac{1}{2}.\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}4\mathrm{n}\mathrm{x}}{4\mathrm{n}}\right]$ + c

= $\frac{1}{4}\left[\frac{12\mathrm{x}+8\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{n}\mathrm{x}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}4\mathrm{n}\mathrm{x}}{8\mathrm{n}}\right]$ + c

= $\frac{1}{32\mathrm{n}}$ (12nx + 8sin2nx + sin4nx) + c.

 

(x)$\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}.{\sin }^2\mathrm{x}}$.dx 

Solution:

Or, $\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{x}.{\sin }^2\mathrm{x}}$.dx = $\int \frac{{\sin }^2\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}}{{\cos }^2\mathrm{x}.{\sin }^2\mathrm{x}}$.dx  (sin²x + cos²x = 1)

= $\frac{1}{4}\int \{\frac{{\sin }^2\mathrm{x}}{{\cos }^2\mathrm{x}.{\sin }^2\mathrm{x}}+\frac{{\cos }^2\mathrm{x}}{{\cos }^2.{\sin }^2\mathrm{x}}\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int ({\sec }^2\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}).$dx

= $\int {\sec }^2\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + $\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}$.dx = tanx + (–cotx) + c

= tanx – cotx + c.

  

(xi)$\frac{1}{{\sec }^2\mathrm{x}.{\tan }^2\mathrm{x}}$.dx 

Solution:

Or, $\frac{1}{{\sec }^2\mathrm{x}.{\tan }^2\mathrm{x}}$.dx = $\int \frac{{\sec }^2\mathrm{x}-{\tan }^2\mathrm{x}}{{\sec }^2\mathrm{x}.{\tan }^2\mathrm{x}}$.dx  (sec²x – tan²x = 1)

= $\int (\frac{{\sec }^2\mathrm{x}}{{\sec }^2\mathrm{x}.{\tan }^2\mathrm{x}}-\frac{{\tan }^2\mathrm{x}}{{\sec }^2.{\tan }^2\mathrm{x}}).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int ({\cot }^2\mathrm{x}-{\cos }^2\mathrm{x}).$dx

= $\int [\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}-1-\frac{1}{2}\left(2{\cos }^2\mathrm{x}\right)$.dx

= $\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}-1-\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}\right)$.dx

= $\int (\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x})$.dx

= –cotx – $\frac{3}{2}$x – $\frac{1}{2}$.$\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}}{2}$ + c

= –cotx – $\frac{3\mathrm{x}}{2}$ – $\frac{1}{4}$sin2x + c.

 

7(i)$\int \sqrt{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{x}}$.dx 

Solution:

Or, $\int \sqrt{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{x}}$.dx = $\int \sqrt{2{\cos }^2\frac{\mathrm{n}\mathrm{x}}{2}}$ = $\sqrt{2}$$\text{Missing open brace for superscript}$.dx

= $\sqrt{2}$$\frac{\sin \frac{\mathrm{n}\mathrm{x}}{2}}{\frac{\mathrm{n}}{2}}$ + c = $\frac{2\sqrt{2}}{\mathrm{n}}$.sin$\frac{\mathrm{n}\mathrm{x}}{2}$ + c

 

(ii)$\int \sqrt{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{x}}$.dx

Solution:

Or, $\int \sqrt{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{x}}$.dx = $\int \sqrt{2{\sin }^2\frac{\mathrm{p}\mathrm{x}}{2}}$.dx

= $\sqrt{2}$$\left(\frac{-\cos \frac{\mathrm{p}\mathrm{x}}{2}}{\frac{\mathrm{p}}{2}}\right)$ + c = $-\frac{2\sqrt{2}}{\mathrm{p}}$.cos $\frac{\mathrm{p}\mathrm{x}}{2}$ + c

 

(iii)$\int \sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{a}\mathrm{x}}$.dx

Solution:

Or, $\int \sqrt{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{a}\mathrm{x}}$.dx = $\int \sqrt{({\sin }^2\mathrm{a}\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{a}\mathrm{x}+2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{x}}$.dx

= $\sqrt{{\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{x}\right)}^2}$.dx

=  $\int \left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{x}\right)$.dx

= $-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{a}}$ + $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{a}}$ + c = $\frac{1}{\mathrm{a}}$(sinax – cosax) + c

 

(iv)$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{x}}$

Solution:

Or, $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{m}\mathrm{x}}$ = $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{2\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^2\frac{\mathrm{m}\mathrm{x}}{2}}$ = $\frac{1}{2}\int {\sec }^2\frac{\mathrm{m}\mathrm{x}}{2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{\tan \frac{\mathrm{m}\mathrm{x}}{2}}{\frac{\mathrm{m}}{2}}\right)$ + c.

= $\frac{1}{\mathrm{m}}$tan $\frac{\mathrm{m}\mathrm{x}}{2}$ + c.

 

(v)$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{x}}$

Solution:

Or, $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{n}\mathrm{x}}$ = $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{2{\sin }^2\frac{\mathrm{n}\mathrm{x}}{2}}$ = $\frac{1}{2}\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\frac{\mathrm{n}\mathrm{x}}{2}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\left(\frac{-\cot \frac{\mathrm{n}\mathrm{x}}{2}}{\frac{\mathrm{n}}{2}}\right)$ + c.

= $-\frac{1}{\mathrm{n}}$cot. $\frac{\mathrm{n}\mathrm{x}}{2}$ + c

 

(vi)$\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ 

Solution:

Or, $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}$ = $\int \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}\ast \frac{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}$

 = $\int \frac{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{1-{\sin }^2\mathrm{a}\mathrm{x}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \frac{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{{\cos }^2\mathrm{a}\mathrm{x}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left(\frac{1}{{\cos }^2\mathrm{a}\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{{\cos }^2\mathrm{a}\mathrm{x}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left({\sec }^2\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{x}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{a}}+\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{a}}$ + c.

= $\frac{1}{\mathrm{a}}$(tanax + secax) + c.

 

8(i)$\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}6\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}6\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{2}\int 2.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}6\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left[\sin \left(6\mathrm{x}+2\mathrm{x}\right)+\sin \left(6\mathrm{x}-2\mathrm{x}\right)\right].\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}8\mathrm{x}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}4\mathrm{x}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\left[-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}8\mathrm{x}}{8}-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}4\mathrm{x}}{4}\right]$ + c

= $\frac{-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}8\mathrm{x}}{16}-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}4\mathrm{x}}{8}$ + c.

 

(ii)$\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}7\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}5\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}7\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}5\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{2}\int 2.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}7\mathrm{x}.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}5\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left[\sin \left(7\mathrm{x}-5\mathrm{x}\right)-\cos \left(7\mathrm{x}+5\mathrm{x}\right)\right].\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}12\mathrm{x}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\left[\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}}{2}-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}12\mathrm{x}}{12}\right]$ + c

= $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}}{4}-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}12\mathrm{x}}{24}$ + c.

 

(iii)$\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}6\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}8\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}6\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}8\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{2}\int 2.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}6\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}8\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left[\sin \left(6\mathrm{x}+8\mathrm{x}\right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(6\mathrm{x}-8\mathrm{x}\right)\right].\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}14\mathrm{x}+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(-2\mathrm{x}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}14\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\left[-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}14\mathrm{x}}{14}-\frac{\left(-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}\right)}{2}\right]$ + c

= $-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}14\mathrm{x}}{28}+\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}}{4}$ + c = $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}}{4}-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}14\mathrm{x}}{18}$ + c.

 

(iv)$\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

Or, $\int \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\frac{1}{2}\int 2.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{x}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left[\cos \left(\mathrm{p}\mathrm{x}+\mathrm{q}\mathrm{x}\right)+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{p}\mathrm{x}-\mathrm{q}\mathrm{x}\right)\right].\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\int \left(\cos \left(\mathrm{p}+\mathrm{q}\right)\mathrm{x}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{p}-\mathrm{q}\right)\mathrm{x}).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\frac{1}{2}\left[\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{p}+\mathrm{q}\right)\mathrm{x}}{\mathrm{p}+\mathrm{q}}+\frac{\sin \left(\mathrm{p}-\mathrm{q}\right)\mathrm{x}}{\mathrm{p}-\mathrm{q}}\right]$ + c

 

9.(i)$\int \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{p}\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{q}\mathrm{x}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ 

Solution:

$\int \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{p}\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{q}\mathrm{x}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$ = $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{p}\mathrm{x}}.\mathrm{d}\mathrm{x}$ + $\int {\mathrm{e}}^{-\mathrm{q}\mathrm{x}}$.dx

= $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{p}\mathrm{x}}}{\mathrm{p}}+\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{q}\mathrm{x}}}{-\mathrm{q}}$ + c = $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{p}\mathrm{x}}}{\mathrm{p}}-\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{q}\mathrm{x}}}{\mathrm{q}}$ + c.

 

(ii)$\int {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{p}\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{p}\mathrm{x}}\right)}^2$.dx

Solution:

$\int {\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{p}\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{p}\mathrm{x}}\right)}^2$.dx

= $\int \left\{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{p}\mathrm{x}}\right)}^2+2{\mathrm{e}}^{\mathrm{p}\mathrm{x}}.{\mathrm{e}}^{-\mathrm{p}\mathrm{x}}+{\left({\mathrm{e}}^{-\mathrm{p}\mathrm{x}}\right)}^2\right\}.\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{p}\mathrm{x}}+2+{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{p}\mathrm{x}}\right)$.dx

= $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{p}\mathrm{x}}}{2\mathrm{p}}$ + 2x + $\frac{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{p}\mathrm{x}}}{-2\mathrm{p}}$ + c.

= $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{p}\mathrm{x}}}{2\mathrm{p}}$ + 2x – $\frac{{\mathrm{e}}^{-2\mathrm{p}\mathrm{x}}}{2\mathrm{p}}$ + c

 

(iii)$\int \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$.dx

Solution:

$\int \frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$.dx

= $\int \left(\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}+\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}+\frac{1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}\right).\mathrm{d}\mathrm{x}$

= $\int \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)$.dx

= ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$ + x + $\frac{{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{-1}$ + c = e^x + x – e^–x + c.

 

(iv)$\int {\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}$.dx + $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$.dx

Solution:

$\int {\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}$.dx + $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$.dx

= $\frac{{\mathrm{e}}^{3\mathrm{x}}}{3}$ + e^x + c