Limits and Continuity Exercise 16.2 | Basic Mathematics Solution [NEB UPDATED]

Exercise 16.2

Evaluate the following:

1) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$

When x = 0, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{a}\mathrm{x}}.\mathrm{a}$ = 1.a = a.

 

2) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$

When x = 0, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}.\mathrm{a}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{b}\mathrm{x}}$.b.$\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}$ = 1.b.1 = b.

 

3) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{x}}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{x}}$

When x = 0, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{x}}{\mathrm{m}\mathrm{x}}.\mathrm{m}.\frac{1}{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{n}\mathrm{x}}.\mathrm{n}}$ = 1.m.$\frac{1}{1.\mathrm{n}}$ = $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$.

 

4) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}$

When x = 0, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}}$= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{x}}.\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}$

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 = $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{a}\mathrm{x}}.\mathrm{a}.\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{x}}.\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{b}\mathrm{x}}.\mathrm{b}}$ = 1.a.1.$\frac{1}{1.\mathrm{b}}$ = $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$.

 

5) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{x}}{\tan \mathrm{q}\mathrm{x}}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{x}}{\tan \mathrm{q}\mathrm{x}}$

When x = 0, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{x}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{q}\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{q}\mathrm{x}}$= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{x}}{\mathrm{p}\mathrm{x}}.\mathrm{p}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{x}}{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{q}\mathrm{x}}{\mathrm{q}\mathrm{x}}.\mathrm{q}}$ = $\frac{1.\mathrm{p}.1}{1.\mathrm{q}}$ = $\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$.

 

6) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$a $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{a}}^2}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$a $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{a}}^2}$

When x = a, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

Or, x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$a $\frac{\sin \left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{a}}^2}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$a $\frac{\sin \left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}$= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$a $\frac{\sin \left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}.\frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}$ = $\left\{\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}0\frac{\sin \left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)}{\mathrm{x}-\mathrm{a}}\right\}\left\{\mathrm{x}\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}\mathrm{a}\frac{1}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}\right\}$

 = 1. $\frac{1}{\mathrm{a}.\mathrm{a}}$ = $\frac{1}{2\mathrm{a}}$.

 

7) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$p $\frac{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{p}}^2}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$p $\frac{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{p}}^2}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)}$

When x = p, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$p $\frac{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{p}}^2}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$p $\frac{{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{p}}^2}{\frac{\sin \left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)}{\cos \left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)}}$= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$p $\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{p}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right).\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)}$

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$p $\frac{\mathrm{x}-\mathrm{p}}{\sin \left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)}.\left(\mathrm{x}+\mathrm{p}\right).\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)$

= (x – p) $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1}{\frac{\left(\sin \left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)\right)}{\mathrm{x}-\mathrm{p}}}$. x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$p $\left(\mathrm{x}+\mathrm{p}\right).\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(\mathrm{x}-\mathrm{p}\right)$= 1.(p + p).1 = 2p.

 

8) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{x}}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{x}}$

When x = 0, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{a}\mathrm{x}}.\mathrm{a}.\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{x}}.\mathrm{c}}$ = $\frac{1.\mathrm{a}.1}{1.\mathrm{c}}$ = $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}}$.

 

9) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

When x = 0, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{2{\sin }^2\frac{\mathrm{x}}{2}}{{\mathrm{x}}^2}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0$\left[2.{\left(\frac{\sin \frac{\mathrm{x}}{2}}{\frac{\mathrm{x}}{2}}\right)}^2.\frac{1}{4}\right]$.

= $\frac{1}{2}{\left(1\right)}^2$ = $\frac{1}{2}$.

 

10) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}6\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}6\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

When x = 0 , the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}6\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{2{\sin }^{2}3\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0$\left[2.{\left(\frac{\sin 3\mathrm{x}}{3\mathrm{x}}\right)}^2.9\right]$ = 18.

 

11) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}9\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}9\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$

When x = 0, the given function takes the form $\frac{0}{0}$.

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}9\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{2{\sin }^2\frac{9\mathrm{x}}{2}}{{\mathrm{x}}^2}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{2{\left(\sin \frac{9\mathrm{x}}{2}\right)}^2}{{\mathrm{x}}^2}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\left[2{\left(\frac{\sin \frac{9\mathrm{x}}{2}}{\frac{9\mathrm{x}}{2}}\right)}^2\left(\frac{81}{4}\right)\right]$ = $\frac{81}{2}$.

 

12) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{b}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= $\frac{2\sin \frac{\mathrm{a}\mathrm{x}+\mathrm{b}\mathrm{x}}{2}.\sin \frac{\mathrm{b}\mathrm{x}-\mathrm{a}\mathrm{x}}{2}}{{\mathrm{x}}^2}$ = $\frac{\frac{2\sin \left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}}{2}}{\mathrm{x}}.\frac{\frac{\sin \left(\mathrm{b}-\mathrm{a}\right)\mathrm{x}}{2}}{\mathrm{x}}$

= $\frac{2\sin \frac{\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\mathrm{x}}{2}}{\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}\right)\mathrm{x}.\frac{2}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}}.\frac{\sin \frac{\left(\mathrm{b}-\mathrm{a}\right)\mathrm{x}}{2}}{\left(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{2}\right)\mathrm{x}.\frac{2}{\mathrm{b}-\mathrm{a}}}$ = $2.\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}.\frac{\mathrm{b}-\mathrm{a}}{2}$ = $\frac{{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{a}}^2}{2}$.

 

13) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right)$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\mathrm{a}\mathrm{x}}.\mathrm{a}-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{b}\mathrm{x}}{\mathrm{b}\mathrm{x}}.\mathrm{b}\right)$

= 1.a – 1.b = a – b.

 

14) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{x}}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{x}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{x}}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{q}\mathrm{x}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{2{\sin }^2\frac{\mathrm{p}\mathrm{x}}{2}}{{\sin }^2\frac{\mathrm{q}\mathrm{x}}{2}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{p}\mathrm{x}}{2}\right)}^2}{{\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{q}\mathrm{x}}{2}\right)}^2}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\left[{\left(\frac{\sin \frac{\mathrm{p}\mathrm{x}}{2}}{\frac{\mathrm{p}\mathrm{x}}{2}}\right)}^2.\frac{{\mathrm{p}}^2}{4}.\frac{1}{\left(\frac{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{q}\mathrm{x}}{2}}{\frac{\mathrm{q}\mathrm{x}}{2}}\right)\frac{{\mathrm{q}}^2}{4}}\right]$ = $\frac{{\mathrm{p}}^2}{{\mathrm{q}}^2}$.

 

15) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}\left(1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^3\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}.2{\sin }^2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}}$.

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}2\mathrm{x}}{2\mathrm{x}}$.2.2${\left(\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right)}^2$.$\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}2\mathrm{x}}$ = 1.4.1 = 4.

 

17) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2  (secx – tanx)  

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2  (secx – tanx)  

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2  (secx – tanx)   [∞ – ∞ form]

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2 $\left(\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}\right)$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2 $\left(\frac{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\cos \mathrm{x}}\right)$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2 $\frac{1-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$ * $\frac{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2  $\frac{1-{\sin }^2\mathrm{x}}{2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\left(1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\right)}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2 $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{1+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}$ = $\frac{\cos \frac{\pi }{2}}{1+\sin \frac{\pi }{2}}$ = 0.

 

18) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{x}}^2\mathrm{x}-2}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-1}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:
x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{x}}^2\mathrm{x}-2}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-1}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

=  x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{x}}^2\mathrm{x}-2}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-1}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{1+{\tan }^2\mathrm{x}-2}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-1}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{{\tan }^2\mathrm{x}-1}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-1}$.

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}+1\right)\left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-1\right)}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-1}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 (tanx + 1)

= tan $\frac{\pi }{4}$ + 1 = 1 + 1 = 2.

 

19) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 = $\frac{2-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 = $\frac{2-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 = $\frac{2-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^2\mathrm{x}}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{2-1-{\cot }^2\mathrm{x}}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{1-{\cot }^2\mathrm{x}}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\left(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}\right)}{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 (1 + cotx)

= 1 + cot$\frac{\pi }{4}$ = 1 + 1 = 2.

 

20) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\left(\frac{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}\right)$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}$.

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\sin \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}\left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}$.

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\sin \left(\mathrm{x}-\mathrm{y}\right)}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$. x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}}$

= 1.$\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}}$ = sec²y.

 

21) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$.

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{2\cos \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}.\sin \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$

= 2 x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y cos $\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}$. x – y $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\sin \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}}{\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}.2}$ = 2.cos$\frac{2\mathrm{y}}{2}.\frac{1}{2}$ = cosy.

 

22) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:
x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{y}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{2\sin \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}.\sin \frac{\mathrm{y}-\mathrm{x}}{2}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y $\frac{-2\sin \frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}.\sin \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}}{\mathrm{x}-\mathrm{y}}$

= –2 x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$y sin $\frac{\mathrm{x}+\mathrm{y}}{2}$. (x – y) $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\sin \frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}}{\frac{\mathrm{x}-\mathrm{y}}{2}.2}$

= –2sin $\frac{2\mathrm{y}}{2}.\frac{1}{2}$ = –siny.

 

23) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:
x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$.

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta +\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\left(\mathrm{x}-\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta +\theta \left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}-\theta }$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $[\left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta +\frac{\theta }{\mathrm{x}-\theta }\left\{\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}\right\}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}\theta +\frac{\theta }{\mathrm{x}-\theta }.\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta .\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}\right]$

= cotθ + x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\theta }{\left(\mathrm{x}-\theta \right)}$.$\frac{\sin \left(\mathrm{x}-\theta \right)}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta .\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}$

= cotθ + x – θ $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\mathrm{x}-\theta \right)}{\mathrm{x}-\theta }$. x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\theta }{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta .\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}$.

= cotθ + 1.$\frac{\theta }{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta .\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }$ = cotθ + $\frac{\theta }{{\sin }^2\theta }$.

 

24) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\theta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\left(\mathrm{x}-\theta \right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +\theta \left(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}-\theta }$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\left[\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +\frac{\theta }{\mathrm{x}-\theta }.2\sin \frac{\theta +\mathrm{x}}{2}.\sin \frac{\mathrm{x}-\theta }{2}\right]$

= cosθ + x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ 2θsin $\frac{\theta +\mathrm{x}}{2}$x – θ $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\sin \frac{\mathrm{x}-\theta }{2}}{\frac{\mathrm{x}-\theta }{2}.2}$

= cosθ + 2θ.sin $\frac{2\theta }{2}$.1.$\frac{1}{2}$ = cosθ + θ.sinθ.

 

25) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$1 $\frac{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi \mathrm{x}}{{\tan }^2\pi \mathrm{x}}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$1 $\frac{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi \mathrm{x}}{{\tan }^2\pi \mathrm{x}}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$1 $\frac{1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi \mathrm{x}}{{\tan }^2\pi \mathrm{x}}$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$1 $\frac{\left(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi \mathrm{x}\right){\cos }^2\pi \mathrm{x}}{\left(1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi \mathrm{x}\right)\left(1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi \mathrm{x}\right)}$

= $\frac{{\cos }^2\pi }{1-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\pi }$

= $\frac{{\left(-1\right)}^2}{1-\left(-1\right)}$ = $\frac{1}{2}$.

 

26) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta -\theta \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta -\theta \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$.

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\mathrm{x}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta -\theta \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta +\theta \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta -\theta \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{x}-\theta }$.

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\left(\mathrm{x}-\theta \right)\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta +\theta \left(\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta -\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}-\theta }$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\left[\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta +\frac{\theta }{\mathrm{x}-\theta }\left\{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta -\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{x}\right\}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\left[\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta +\frac{\theta }{\mathrm{x}-\theta }\left\{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }-\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}\right\}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\left[\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta +\frac{\theta }{\mathrm{x}-\theta }\left\{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta .\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta .\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta .\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}\right\}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\left[\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta +\frac{\theta }{\mathrm{x}-\theta }.\frac{\sin \left(\theta -\mathrm{x}\right)}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta .\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}\right]$

= tanθ – x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$θ $\frac{\theta }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta .\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}$x – θ $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\sin \left(\mathrm{x}-\theta \right)}{\mathrm{x}-\theta }$

= tanθ –$\frac{\theta }{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta .\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta }$.1 = tanθ – θsec²θ.

 

27) θ $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }{\theta -\frac{\pi }{4}}$$\left[\frac{0}{0\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}\right]$

Solution:

= θ $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }{\theta -\frac{\pi }{4}}$$\left[\frac{0}{0\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}}\right]$

= θ $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\frac{1}{\sqrt{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \right)}{\theta -\frac{\pi }{4}}$

= θ $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\sqrt{2}\left(\sin \frac{\pi }{4}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -\cos \frac{\pi }{4}.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \right)}{\theta -\frac{\pi }{4}}$

= θ $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/4 $\frac{\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi }{4}-\theta \right)}{\theta -\frac{\pi }{4}}$

= θ $--\frac{\pi }{4}\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{-\sqrt{2}\left(\theta -\frac{\pi }{4}\right)}{\theta -\frac{\pi }{4}}$

= $-\sqrt{2}$.1 = $-\sqrt{2}$.

 

28) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$c $\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{c}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$c $\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{c}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$c $\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{c}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{c}}$$\left[\frac{0}{0}\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{m}\right]$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$c $\frac{\sqrt{\mathrm{x}}-\sqrt{\mathrm{c}}}{2\sin \frac{\mathrm{x}-\mathrm{c}}{2}.\cos \frac{\mathrm{x}+\mathrm{c}}{2}}$ * $\frac{\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{c}}}{\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{c}}}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$c $\frac{\mathrm{x}-\mathrm{c}}{2\sin \frac{\mathrm{x}-\mathrm{c}}{2}.\cos \frac{\mathrm{x}+\mathrm{c}}{2}\left(\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{c}}\right)}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$c $\frac{2}{2\left(\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{c}}\right).\sin \frac{\frac{\frac{\mathrm{x}-\mathrm{c}}{2}}{\mathrm{x}-\mathrm{c}}}{2}.\cos \frac{\mathrm{x}+\mathrm{c}}{2}}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$c $\frac{1}{\left(\sqrt{\mathrm{x}}+\sqrt{\mathrm{x}}\right)\cos \frac{\mathrm{x}+\mathrm{c}}{2}}$ = $\frac{1}{\left(\sqrt{\mathrm{c}}+\sqrt{\mathrm{c}}\right).\cos \frac{\mathrm{c}+\mathrm{c}}{2}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{c}}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{c}}$.

= secc. $\frac{1}{2\sqrt{\mathrm{c}}}$ = $\frac{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{c}}{2\sqrt{\mathrm{c}}}$.

 

29) Find the limit of:

a) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{6\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}$$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{6\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}$$\text{Missing or unrecognized delimiter for right}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{6\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}$$\left(\frac{0}{0}\right)$ = $\left(\mathrm{x}\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}0\frac{{\mathrm{e}}^{6\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}\right)$.6 = 1.6 = 6.

 

b) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}{.2}^{\mathrm{x}+1}},$$\left(\frac{0}{0}\right)$

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}{.2}^{\mathrm{x}+1}},$$\left(\frac{0}{0}\right)$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}{.2}^{\mathrm{x}+1}},$$\left(\frac{0}{0}\right)$ = $\left(\mathrm{x}\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}0\frac{{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}-1}{2\mathrm{x}}.\frac{2}{2^{\mathrm{x}+1}}\right)$ = 1.$\frac{2}{2}$ = 1.

 

c) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{b}\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}$

Solution:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{b}\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{b}\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}$ $,\left(\frac{0}{0}\right)$ = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\mathrm{x}}-1-\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{b}\mathrm{x}}-1\right)}{\mathrm{x}}$  = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}$ – x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{b}\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}$ = $\left(\mathrm{x}\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}0\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{a}\mathrm{x}}-1}{\mathrm{a}\mathrm{x}}\right).\mathrm{a}-\left(\mathrm{x}\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}0\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{b}\mathrm{x}}-1}{\mathrm{b}\mathrm{x}}\right).\mathrm{b}$ = 1.a – 1.b = a – b.

 

d) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x+b^x-2}{x}$

Solution:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{a^x+b^x-2}{x}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{b}}^{\mathrm{x}}-2}{\mathrm{x}}$$,\left(\frac{0}{0}\right)$ = = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}$$+=\mathrm{x}\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}0\frac{{\mathrm{b}}^{\mathrm{x}}-1}{\mathrm{x}}$= loga + logb = log(ab).

 

30) Evaluate the limit: 

a) x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$2 $\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}-1\right)}$

Solutio:

x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$2 $\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}-1\right)}$

let x – 2 = y → x = y + 2.

So, x → 2 ⇒ y → 0.

Now, = x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{x}-2}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}-1\right)}$ = y$\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\mathrm{y}+1\right)}$ = $\frac{1}{\mathrm{y}\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}0\frac{\log \left(\mathrm{y}+1\right)}{\mathrm{y}}}$ = $\frac{1}{1}$ = 1.

 

b) $ \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} {\rm{ }}\frac{{\cos x}}{{\log (x - \frac{\pi }{2} + 1)}}$

Solution:

$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\frac{\cos x}{\log (x-\frac{\pi }{2}+1)}$

= x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2 $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{\log \left(\mathrm{x}-\frac{\pi }{2}+1\right)}$, $\left(\frac{0}{0}\right)$

Let x – π/2 = y → y ⇒ x = $\frac{\pi }{2}$ + y

So, x →$\frac{\pi }{2}$⇒ y → 0

Now,

=x $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$π/2 $\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}}{\log \left(\mathrm{x}-\frac{\pi }{2}+1\right)}$

= y $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\frac{\cos \left(\frac{\pi }{2}+\mathrm{y}\right)}{\log \left(\mathrm{y}+1\right)}$ = y $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $--\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}}{\log \left(\mathrm{y}+1\right)}$.

= –y $\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ \to \end{array}$0 $\left(\frac{\frac{\frac{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{y}}{\mathrm{y}}}{\log \left(\mathrm{y}+1\right)}}{\mathrm{y}}\right)$ = $-\frac{1}{1}$ = –1.